Vergleichsrechnung Theorie II. Ordnung — Stahlbau-Beispiele im Abgleich mit OpenSees
Die Berechnung nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt den Einfluss der Verformung auf die Schnittgrößen: Druckkräfte erzeugen über die ausgelenkte Systemgeometrie zusätzliche Momente (P-Delta-Effekt). Für die Einordnung der Verformungsempfindlichkeit wird das globale Verzweigungslastverhältnis α_cr des Tragwerks ausgewertet. Auf dieser Seite wird die elastische Systemberechnung an fünf baupraktischen Beispielen einem unabhängigen, quelloffenen Referenzsolver gegenübergestellt.
Als Referenz dient OpenSees. Verglichen werden Knotenverschiebungen, Biegemomente, Auflagerreaktionen und die Vorzeichen signifikanter Stabendkraftkomponenten. Für jedes Beispiel sind die maßgebenden Modellannahmen – Geometrie, Querschnitt, Material, Lagerung und Lasten – angegeben; die Ergebnisse lassen sich unter denselben idealisierten Annahmen mit anderer Stabwerkssoftware nachvollziehen.
Validierungsstand: 27.07.2026 · TragFlow 0.19.1, Rechenstand 4bfd524 · OpenSees 3.6.0 über OpenSeesPy 3.6.0.2 · Prüfumfang: elastische Euler-Bernoulli-Stabmodelle ohne Schubverformung, Imperfektion und Eigengewicht.
Überblick der Vergleichsrechnungen
Berechnungsannahmen
- Theorie II. Ordnung (P-Delta), prismatische und elastische Stäbe
- Euler-Bernoulli-Balken ohne Schubverformung (der geometrisch nichtlineare Referenzstab ist schubstarr)
- perfekte Geometrie – ohne Imperfektion und ohne Schiefstellung
- ohne Eigengewicht – maßgebend sind ausschließlich die angegebenen Lasten
- elastisches Material, E = 210000 N/mm², G = 81000 N/mm²
- Normbezug des geprüften TragFlow-Stands: DIN EN 1993-1-1:2010-12 mit DIN EN 1993-1-1/NA:2022-10; geprüft wird hier die elastische Systemberechnung, nicht die vollständige Normumsetzung oder ein Bauteilnachweis
- Achsen und Vorzeichen: globales Rechtssystem mit Z nach oben; negative Kräfte F_z wirken nach unten (Druck), Momente nach der Rechte-Hand-Regel. Bei senkrechten Stäben führt eine Horizontallast in globaler X-Richtung zur Biegung um die starke Achse (I_y), in globaler Y-Richtung um die schwache Achse (I_z)
- Auswertung der Momente: Einspann- bzw. Auflagermomente werden aus den Auflagerreaktionen (globales Gleichgewicht) ausgewiesen, Feld- und Anschlussmomente aus den Stabendschnittgrößen
P1 - Eingespannte Kragstütze (Mast) - Druck + Kopf-Horizontallast
Die eingespannte Kragstütze ist der Grundfall des P-Delta-Effekts. Die Horizontallast am Kopf erzeugt eine Auslenkung; die gleichzeitig wirkende Druckkraft vergrößert über den Hebelarm dieser Auslenkung das Einspannmoment am Stützenfuß. Eine Berechnung nach Theorie I. Ordnung erfasst diesen Zuwachs nicht.
Wie stark die Vergrößerung ausfällt, bestimmt das Verhältnis der Druckkraft zur idealen Verzweigungslast N_cr. Genau daraus folgt die Forderung der DIN EN 1993-1-1, verformungsempfindliche und druckbeanspruchte Systeme nach Theorie II. Ordnung zu berechnen.
Baupraktischer Bezug: Freistehender Mast oder Kragstütze (Verkehrsschild, Vordach- oder Anlagenstütze).
Ergebnis der Vergleichsrechnung: Die Verschiebung vergrößert sich gegenüber der Theorie I. Ordnung um den Faktor 1,637. Die größte Abweichung zum Referenzsolver beträgt 0,208 % bei den Verschiebungen und 0,071 % bei den Auflagerreaktionen. Die Vorzeichen der Stabendkräfte stimmen durchgängig überein. Das globale Verzweigungslastverhältnis beträgt α_cr = 2,549; das System ist daher deutlich verformungsempfindlich. Die Vergleichsrechnung ist kein Stabilitäts- oder Tragfähigkeitsnachweis.
P2 - Beidseitig gelenkige Pendelstütze - Druck und Windbeanspruchung
Die beidseitig gelenkig gelagerte Pendelstütze unter Normalkraft und Querbelastung ist der klassische Fall eines quer belasteten Druckstabs. Die Windlast erzeugt ein Feldmoment, das durch die Druckkraft über die Stabverformung zusätzlich anwächst – der P-δ-Effekt am Einzelstab.
Die Windlast beansprucht die schwache Profilachse. Dort ist die ideale Verzweigungslast gering, entsprechend ausgeprägt fällt die Momentenvergrößerung aus. Für den Bauteilnachweis auf Biegung und Druck nach DIN EN 1993-1-1 ist das vergrößerte Feldmoment maßgebend – nicht der Wert aus der Berechnung nach Theorie I. Ordnung.
Baupraktischer Bezug: Windbeanspruchte Fassadenstütze zwischen zwei Deckenebenen.
Ergebnis der Vergleichsrechnung: Die Verschiebung vergrößert sich gegenüber der Theorie I. Ordnung um den Faktor 1,768. Die größte Abweichung zum Referenzsolver beträgt 0,245 % bei den Verschiebungen, 0,353 % bei den Biegemomenten und 0 % bei den Auflagerreaktionen. Die Vorzeichen der Stabendkräfte stimmen durchgängig überein. Das globale Verzweigungslastverhältnis beträgt α_cr = 2,306; das System ist daher deutlich verformungsempfindlich. Die Vergleichsrechnung ist kein Stabilitäts- oder Tragfähigkeitsnachweis.
P3 - Verschieblicher Portalrahmen - P-Delta-Effekt des Rahmens
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Häufige Fragen zur Berechnung nach Theorie II. Ordnung
Was ist der P-Delta-Effekt?
Als P-Delta-Effekt wird der Zuwachs der Schnittgrößen bezeichnet, der entsteht, wenn Druckkräfte an der verformten Systemgeometrie angreifen. Die Auslenkung erzeugt einen Hebelarm, über den die Normalkraft zusätzliche Biegemomente hervorruft. Erfasst wird dieser Effekt durch die Berechnung nach Theorie II. Ordnung.
Wann ist eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung erforderlich?
Erforderlich wird sie, sobald die Verformungen die Schnittgrößen nennenswert beeinflussen – insbesondere bei schlanken, druckbeanspruchten Bauteilen und bei verschieblichen (nicht ausgesteiften) Rahmentragwerken. Im geprüften Normprofil wird die Entscheidung an das globale Verzweigungslastverhältnis α_cr des Tragwerks geknüpft.
Wie wurde die Vergleichsrechnung durchgeführt?
Jedes Modell wurde mit identischer Geometrie, identischen Querschnittswerten und identischen Lasten zweimal gerechnet: einmal mit der FEM-Berechnung von IB Parusel und einmal mit OpenSees unter Verwendung der P-Delta-Transformation (geomTransf PDelta). Verglichen werden Knotenverschiebungen, Biegemomente, Auflagerreaktionen und die Vorzeichen signifikanter Stabendkraftkomponenten.
Lassen sich die Beispiele mit eigener Software nachrechnen?
Ja. Die maßgebenden Angaben zu Geometrie, Querschnittswerten, Material, Lagerung und Lasten sind je Beispiel aufgeführt. Für die Nachrechnung sind dieselben idealisierten Annahmen einzuhalten: Theorie II. Ordnung, Euler-Bernoulli-Balken ohne Schubverformung, perfekte Geometrie ohne Imperfektion und ohne Eigengewicht.
Referenz und Hinweis
Referenzsolver: OpenSees 3.6.0 (Open System for Earthquake Engineering Simulation), quelloffenes Finite-Elemente-Framework des Pacific Earthquake Engineering Research Center (PEER), University of California, Berkeley; Python-Schnittstelle OpenSeesPy 3.6.0.2 von Minjie Zhu (Oregon State University). Die Gegenüberstellung erfolgt als unabhängige Vergleichsrechnung; eine Verbindung zu oder eine Empfehlung durch die Entwickler von OpenSees besteht nicht. Programmdateien von OpenSees werden auf dieser Seite nicht bereitgestellt.
Die Vergleichsrechnungen belegen für die fünf dokumentierten, idealisierten Systeme die Übereinstimmung der ausgewiesenen Verschiebungen, Biegemomente und Auflagerreaktionen mit der unabhängigen Referenz. Sie ersetzen weder einen Stabilitäts- oder Tragfähigkeitsnachweis noch eine projektbezogene, prüffähige Statik im Einzelfall. Maßgebend ist stets die auf das jeweilige Bauvorhaben bezogene Berechnung durch IB Parusel.
Ingenieurkammer-Bau Nordrhein-Westfalen
Mitglied der Kammer
Eingetragen in die Liste der Qualifizierten Tragwerksplaner (Nr. 750762)